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DNET_DSMathProbability

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nishi_74322014 edited this page Sep 11, 2026 · 1 revision

DS：数学的基礎 - 確率・統計

概要

不確実性を扱う学問。

集合

  • 集合とはものの集まり

    • 「集合」の「要素」(「元」ともいう)同士は明確に区別できる。
    • 「集合」に「含まれる」or「含まれない」は明確に区別できる。
    • 確率・統計に登場する「事象」は「集合」として取り扱うことができる。

  • 数学的には

    • S = {a, b, c, d, e, f, g}
    • M = {c, d, g}
    • M ⊂ S
    • a ∈ S
    • b ∈ S
    • h ∉ S

和集合と共通部分

和集合

  • A ∪ B　カップ
  • A ∪ B = B ∪ A

共通部分

  • A ∩ B　キャップ
  • A ∩ B = B ∩ A

絶対補と相対補

補＝～以外

絶対補

全体中のA以外：U ∖ A = Ā

相対補

AB中のA以外：B ∖ A

例

  • A ∪ B
  • A ∩ B
  • B ∖ A ∩ A ∖ B
  • B ∖ A ∪ A ∖ B

確率

ある事象の起こり易さの度合い。

  • 頻度確率（客観確率）

    • 発生する頻度

      • 測定すれば必ず決まる。
      • 客観的に調べられる。

    • 例

      • 「10本のうち1本だけ当たりのクジを引いて当選する確率を調べたところ10%であった」という事実
      • ...

  • ベイズ確率（主観確率）

    • 信念の度合い

      • 算出するのが難しい。
      • 全数調査が出来ないが条件を確認しながら確率を決める。

    • 例

      • 「あなたは40%の確率でインフルエンザです」という診断
      • ...

以降は、頻度確率（客観確率）の定義について。
（ベイズ確率（主観確率）については、コチラの該当節を参照）

確率P(A)

ある事象Aの起こる確率P(A)

       n(A)     事象Aの起こる場合の数
P(A) = ---- = ----------------------------
       n(U)   起こり得る全ての場合の数

ある事象Aの起こらない確率P(Ā)

P(Ā) = 1 - P(A)

       n(Ā)   事象Aの起こらない場合の数     起こり得る全ての場合の数－事象Aの起こる場合の数
P(Ā) = ---- = ---------------------------- = -----------------------------------------------
       n(U)   起こり得る全ての場合の数                  起こり得る全ての場合の数

  n(U) - n(A)   n(U)   n(A)       n(A)
= ----------- = ---- - ---- = 1 - ---- = 1 - P(A)
      n(U)      n(U)   n(U)       n(U)

事象Aと事象Bの共通部分の確率P(A∩B)

  • P(A∩B) = P(B∩A)

  • 以下の区別が必要になる。

    • 条件付き確率

      • P(A∩B) = P(A)P(B|A)
      • P(B∩A) = P(B)P(A|B)
      • P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

    • 同時確率

      • P(A∩B) = P(A)P(B)
      • P(B∩A) = P(B)P(A)
      • P(A)P(B) = P(B)P(A)

条件付き確率P(A|B)

  • ある事象Bが与えられた下でAとなる確率
  • 例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
    • ◯：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
    • ☓：雨が降っていて、且つ、交通事故に遭う確率
         P(A∩B)  ┌ n(A∩B)   n(U) ┐  n(A∩B)
P(A|B) = ------- =│ ------- * ---- │= -------
           P(B)   └  n(U)     n(B) ┘    n(B)

独立な事象の同時確率P(A)P(B)

  • ある事象A、且つ、事象Bとなる確率
  • 例：自然言語では文脈で理解するので以下を区別し難い。
    • ☓：雨が降っている条件下で、交通事故に遭う確率
    • ◯：雨が降っていて、且つ、交通事故に遭う確率
P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)

※ 積集合と言う言葉は別の意味に使用されるので使用しないが、同時確率の共通部分は積で計算可能。

事象Aと事象Bの和集合の確率P(A∪B)

共通部分の確率P(A∩B)を使用して計算する。

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

数の数え方

場合の数

ある数の要素を取り出して並べるときの数で、並べるのだから順番が違うものは違う場合として数える。

  • 繰り返しあり（重複順列）
    異なるnからr個選んで並べる場合の数

    n^r

  • 繰り返しなし

    • 異なるnからn個選んで並べる場合の数（階乗）

      n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1

    • 異なるnからr個選んで並べる場合の数（順列）

      nPr = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1) = n!/(n-r)!

組み合わせの数

ある数の要素を取り出した組合せの数で、組合せなので順番が違っても同じ場合として数える。

  • 異なるnからr個選ぶ場合の数（並べない）

    • nCr（選ぶ） * r!（並べる） = nPr（順列）
    • nCr = nPr / r!

  • 場合の数で数えて、数え過ぎの部分を割るという考え方になる。

...の起こる場合の数の制限

  • 「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」こと。

  • 同じように起こる可能性がある ≒ 生じる場合が等しい ≒ 同じ確率。

  • 確率の定義の中に確率が入るのでこの言い回し。

「同様に確からしい」の例

「同様に確からしい（同じように起こる可能性がある）」＝コインの表裏、サイコロ出目

  • （通常の）サイコロの偶数の出る確率

    • 起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
    • 偶数の出る場合の数：2, 4, 6なので3
    • この確率は 3/6 = 1/2 になる。

  • 3を2に変更したサイコロの偶数の出る確率。

    • 起こりうるすべての場合の数：六面体なので6
    • 偶数の出る場合の数：2, 2, 4, 6なので4
    • この確率は 4/6 = 2/3 になる
      （2は2回数えるので3/5ではない）。

直感的ではない例

くじを順番に引いても、当たる確率は同じ。
アタリ１枚、ハズレ４枚のケース。樹形図で計算すると...

  • Aがアタリを引く確率は 1/5

  • Bがアタリを引く確率は

    • 4/(5*4) = 1/5（ケースは4倍、アタリは4パターン）
    • Aハズレの確率 * Bアタリの確率 = 4/5 * 1/4 = 1/5

  • Cがアタリを引く確率は

    • 43/(54*3) = 1/5（ケースは3倍、アタリは3パターン）
    • Aハズレの確率 * Bハズレの確率 * Cアタリの確率 = 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

統計

  • 集団を数量的に理解する（四則演算ぐらいでできる）。
  • ココでは、ほぼ、代表値（統計量）（データ分析の該当節を参照）について言及

分布の中心

分布の中心についてはデータ分析の該当節を参照。

平均値

平均は必ずしも普通を意味しない（分布のバラつきによる）。

中央値

最頻値

分布のバラつき

分布のバラつきについてはデータ分析の該当節を参照。

分布

色々な確率分布がある（統計解析の該当節を参照）。

分散

散らばり度合いの数値化（統計解析の該当節を参照）

標準偏差

分散の平方根（統計解析の該当節を参照）

偏差値

標準偏差を平均≒50前後の値にしたもの（統計解析の該当節を参照）。

因果関係、相関関係、擬似相関

いずれも統計解析の該当節を参照。

  • 因果関係と相関関係
  • 相関関係と擬似相関

参考

移行メモ

  • 概要の「不確実性を扱う学問（で）。」は語尾が途切れていたため 「不確実性を扱う学問。」とした。
  • 「ある事象Aの起こらない確率P(Ā)」の式で分子が n(A) になっていたため n(Ā) に修正した。
  • 順列の式 nPr = n * (n-1) * ... * (n-r-1) の最終項は (n-r+1) が正しいため修正した。
  • 条件付き確率・同時確率の例「雨が降っていて、且つ、条件下で交通事故に遭う確率」は 「条件下で」が衍字のため除去した。
  • 「2を3に変更したサイコロ」は、続く「偶数の出る場合の数：2, 2, 4, 6」および 「2は2回数えるので」と整合しないため「3を2に変更したサイコロ」に修正した。
  • 「散らばり度ありの数値化」→「散らばり度合いの数値化」、 「インフレンザ」→「インフルエンザ」。
  • 「（並べない」「（順列」「（四則演算ぐらいでできる。」「（ケースは4倍、アタリは4パターン」など、 閉じ括弧の欠落を補った。
  • 「例」の節はベン図が入る想定の空欄（罫線のみ）だったため、式のみの箇条書きにした。
  • PukiWiki のページ内アンカ（#xxxxxxxx）は GitHub Wiki では再現できないため、 同一ページ内のアンカは見出しから生成されるアンカに張り替え、 他ページのアンカを指すリンクは「〜（ページ名 の該当節を参照）」の形に置き換えた。

Tags: 移行, DS, 数学的基礎, 確率, 統計, 集合, 条件付き確率, 順列, 組み合わせ, データサイエンス

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