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DNET_DSMathCalculus

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nishi_74322014 edited this page Sep 11, 2026 · 1 revision

DS：数学的基礎 - 微分・積分

概要

世界は微分で記述され積分で読み解く。

詳細

非線形関数を対象としている。

微分

積分

  • 非線形関数の、微小のものを足し合わせる演算で、微分の逆。

    • dxとdy（微分値＝変化の比率）からF（元の関数＝瞬間的な変化を積み重ねた全体像）を推測する（不定積分）。
      始めの値（C：積分定数）が解らないと関数の完全な姿は解らない。

      F(x) = ∫f(x)dx

    • 関数グラフ（DS：数学的基礎の該当節を参照）上での積分値（面積）を求める（定積分）。

       b
∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
 a

  • 瞬間的な変化を積み重ねた全体像を推測する。

  • 瞬間的な変化を積み重ねた全体像、元の関数、積分値（面積）を求める。

    • 微分の逆をやる。
    • 区分求積法は、数列の和の極限で面積を求める方法 ≒ 定積分。
    • 数値積分は、区分求積法的に極限ではなく有限の十分大きな値を用いて近似する。

微分・積分

距離、速度、加速度

加速（度）がある場合、時間と距離は非線形の２次関数になる。

みはじ

円の面積

r（半径）で微積する。

  • 円周（2πr）

    • 円周率：数学定数

↓ rで積分、↑ rで微分

  • 円の面積（πr^2）

コチラの求め方には、

  • みかん的に求める方法
    底辺が2πr、高さがｒの連続した三角形の連なり。

  • 玉ねぎ的に求める方法

    • 底辺がr、高さが2πrの直角三角形
    • これは、そのまま円周（2πr）の積分を意味している。

などがある。

球の体積

r（半径）で微積する。

  • 球の表面積（4πr^2）

↓ rで積分、↑ rで微分

  • 球の体積（4/3πr^3）

    • 円柱の体積との比率（2/3）で求める。

      • 円柱の体積 = 円の面積（πr^2） * 2r = 2πr^3
      • 球の体積 = 2πr^3 * 2/3 = 4/3πr^3

    • 円錐で求める。

      • 円錐 = 底面積 * 高さ / 3

      • 円錐 = 球の表面積 * r / 3 = (4πr^2) * r / 3 = 4/3πr^3
        ・円のみかんの場合の「連続した三角形」を球で考えると「複数のｎ角錐」になる。
        ・円の玉ねぎの場合の「直角三角形」を球で考えると「円錐」になる。

      • これは、そのまま球の表面積（4πr^2）の積分を意味している。

参考

移行メモ

  • 「時間と距離は非線形の２次間数になる」→「２次関数」に修正した。
  • 「円のみかんの場合の「直連続した三角形」」の「直」は衍字のため除去した。
  • 「円周（2πr」「円の面積（πr^2」「球の表面積（4πr^2 」「球の体積（4/3πr^3 」など、 閉じ括弧の欠落を補った。
  • PukiWiki のページ内アンカ（#xxxxxxxx）は GitHub Wiki では再現できないため、 同一ページ内のアンカは見出しから生成されるアンカに張り替え、 他ページのアンカを指すリンクは「〜（ページ名 の該当節を参照）」の形に置き換えた。
  • 添付は 1 点で、DNET_DSMathCalculus_1.jpg として取得した。

Tags: 移行, DS, 数学的基礎, 微分, 積分, 定積分, 不定積分, 区分求積法, データサイエンス

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